Równania I stopnia z jedną niewiadomą

Do tego tematu powinieneś znać:
Wzory skróconego mnożenia.
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Równanie można najprościej porównać do wagi w warzywniaku :) po obu stronach wagi musi być tyle samo, aby waga stała równo. Podobnie w równaniach matematycznych, po obu stronach znaku równości musi być taka sama wartość, aby równanie było spełnione (prawdziwe).
Niewiadomą w równaniu oznaczamy małymi literami (najczęściej z końca alfabetu) np. x, y lub z. Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć taką liczbę, która po wstawieniu do równania w miejsce niewiadomej da tę samą wartość po lewej i po prawej stronie równania (lewa strona musi być równa prawej).
Spróbujmy rozwiązać takie równanie:

Podczas rozwiązywania równań posługujemy się paroma zasadami, które prowadzą do rozwiązania równania. Najprościej zawsze jest starać się przenieść wyrażenie z niewiadomą na lewą stronę, a wyrażenia wiadome :) czyli liczby na prawą.
Takie ustawienie pozwala na redukcje wyrazów podobnych, czyli do liczb dodajemy liczby a do "iksów" "iksy".

Do obu stron równania można dodać lub odjąć takie samo wyrażenie.

Wykorzystując tę zasadę przenieśmy liczby na prawo a "iksy" na lewo.

| -2 (od obu stron równania odejmuję 2 i otrzymuję:)

Zauważ, że zniknęła 2 z lewej strony, a pojawiła się po prawej ze zmienionym znakiem.

Jeśli dodajesz lub odejmujesz wyrażenia od obu stron równania, to jest to w rzeczywistości przenoszenie na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem.

| -x (od obu stron równania odejmuję x i otrzymuję:)

Teraz mamy już niewiadome po lewej, a resztę po prawej. Kolejne prawo, które możemy wykorzystywać dotyczy mnożenia i dzielenia.

Obie strony równania można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od 0.

Wykorzystując to, jak już nasze równanie jest uporządkowane, i chcemy wiedzieć ile wynosi pojedynczy x, to najłatwiej jest podzielić obie strony równania przez liczbę stojącą przy x:

| /2 (obie strony równania dzielę przez 2 i otrzymuję:)


To jest już rozwiązanie. Teraz możemy sprawdzić czy nasz wynik faktycznie jest dobry. Bierzemy nasze pierwsze równanie .
Lewą stronę równania oznaczamy jako L a prawą P. Aby równanie było prawdziwe L musi być równe P:

Teraz do każdej ze stron postawiamy nasz wynik:

Wniosek: L=P, więc nasz wynik jest prawidłowy.

Liczbę, która jest rozwiązaniem równania nazywamy pierwiastkiem równania.

Czasami równania są bardziej skomplikowane, ale zawsze trzeba postępować według zasady "iksy na lewo, reszta na prawo". Jeśli mamy równanie z nawiasami, to najpierw usuwamy nawiasy, wykonując wszystkie niezbędne działania np.:

Mnożę nawiasy przez liczby przed nimi i porządkuję równanie:

Zwróć uwagę, że mnożąc nawias przez liczbę ujemną, zmieniają sie znaki wszystkich wyrażeń, które były w nawiasie.

Teraz porządkuję:

I na koniec dzielę przez liczbę przy x (-10):

I sprawdzenie:

L=P, czyli -2,5 jest pierwiastkiem równania.

Niektóre równania są zapisywane w postaci ułamków:

Trzeba pozbyć się postaci ułamkowych i najłatwiej można to zrobić mnożąc obie strony równania przez mianowniki, czyli tutaj przez 5 a potem przez 3 (lub od razu przez iloczyn mianowników 3*5=15). Pomnóżmy od razu przez 15.

Przy mnożeniu możemy skrócić mianowniki z wyrażeniem przez które mnożymy:

Po wymnożeniu otrzymujemy proste równanie, które porządkujemy:

Na koniec jeszcze sprawdzenie:

Czyli 35 jest pierwiastkiem równania.

Niektóre równania w postaci ułamkowej mają niewiadomą w mianowniku np.

Rozwiązujemy je dokładnie tak samo. Różnica jest taka, że ułamek jest to inaczej dzielenie licznika przez mianownik, a nie można dzielić przez 0. Dlatego ważne jest, żeby zapisać, że taki mianownik musi być różny od 0. Czyli w naszym przypadku w mianowniku jest sam "x", więc wystarczy zapis .
Jeśli już takie założenie mamy to możemy bez problemu pomnożyć obie strony równania przez "x":

Bardzo ważne jest aby sprawdzić czy nasze rozwiązanie jest różne od naszego założenia z początku.

Tutaj jest różne, więc jest ok. Jeśli nie jest - np. dla naszego przypadku rozwiązaniem równania byłoby 0 - to musielibyśmy odrzucić to rozwiązanie (czyli równanie nie miałby rozwiązania) Jeśli mianownik jest bardziej złożony np.

To musimy założyć, że cały mianownik jest różny od 0 i rozwiązać nierówność, czyli:

Przy takim założeniu możemy rozwiązać nasze główne równanie - mnożymy przez mianownik obie strony równania:


Czasami może się zdarzyć, że równanie nie będzie miało rozwiązania. Zobacz takie równanie:

Próbując je rozwiązać otrzymujemy:

Co nie jest prawdą, bo . Jeśli rozwiązując równanie dojdziesz do takiej sytuacji to oznacza, że równanie nie ma rozwiązania.

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy sprzecznym.

Innym przypadkiem jest równanie
Jak je rozwiążemy:

Nasza końcowa równość jest prawdziwa. Jeśli dojdziesz do takiego momentu rozwiązując równanie (lub podobnych typu 4=4 lub 10=10) to oznacza, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli jakiej liczby byśmy nie wstawili do równania za x to będzie ono spełnione.

Równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy tożsamościowym.

Zadania z treścią.

Wszystkie zadania z treścią rozwiązuje się w podobny sposób. W zadaniu zawsze podana jest pewna ilość faktów i jest pytanie.
Zobacz idee rozwiązując przykładowe zadanie:
W sali kinowej w kolejnych rzędach jest na przemian 16 i 15 miejsc, przy czym rzędy pierwszy i ostatni mają po 16 miejsc. Ile rzędów jest w kinie jeśli sala ma 264 miejsca.
W pierwszej kolejności "rozkładamy" całe zadanie na pojedyncze fakty:
W sali są rzędy na przemian 16 i 15 miejsc.
W związku z tym, że pierwszy i ostatni rząd ma 16 miejsc, to rzędów 16-osobowych jest o 1 więcej niż 15-osobowych.
Znamy liczbę miejsc w rzędach, ale nie znamy liczby rzędów, więc nasza niewiadoma "x" musi być związana z liczbą rzędów.
Jeśli przez "x" oznaczę ilość rzędów 15 osobowych, to rzędów 16 osobowych będzie (x+1).
Podsumowując ilość miejsc jest równa ilość rzędów razy ilość miejsc w tych rzędach - razem 264 - czyli:

Po wykonaniu obliczeń zawsze wykonujemy sprawdzenie, czyli podstawiamy nasz wynik do pierwotnego równania:

Jeśli nasze sprawdzenie się zgadza, możemy dać odpowiedź.
UWAGA!
Pytanie jest o ilość rzędów, a nasz niewiadoma "x" oznacza tylko ilość rzędów 15 osobowych. Obliczamy więc ilość wszystkich rzędów:
15 + (15 + 1) = 31
I teraz:
Odp: W kinie jest 31 rzędów.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną typu .

Tego typu równania rozwiązuje się podobnie do równań bez wartości bezwzględnej. Zacznijmy od równania:
Przypomnijmy sobie definicję wartości bezwzględnej:

Jeśli pod wartością bezwzględną jest niewiadoma to jej wynik ma 2 postaci. Zapisujemy je oddzielnie:
x=7 LUB x=-7
Tutaj nie ma już nic do rozwiązywania. Wynik wyszedł od razu.
W odpowiedzi piszemy, że x=7 lub x=-7. Przy trochę bardziej rozbudowanej postaci zapisujemy całość jako 2 niezależne równania i również oddzielnie je rozwiązujemy:

Najpierw należy doprowadzić równanie do postaci, gdzie po jednej stronie równania jest TYLKO wartość bezwzględna a reszta po drugiej:

Teraz zapisujemy całość jako 2 równania:
LUB
Tuta w odpowiedzi piszemy, że x=-6 lub x=-12.
Sprawdźmy dla x=-6:

oraz dla x=-18:

Wszystko się zgadza.

Czegoś nie ma?
Nie rozumiesz?
Napisz!


Zadanie 1

Edek przeczytał książkę w czasie 20 godzin. Zrobił to w 4 dni, czytając co dzień o godzinę dłużej. Jak długo czytał w ostatnim dniu?

Rozwiązanie
Zadanie 2

Gdy urodziła się Julka, jej mama miała 24 lata. Ile lat miała Julka, gdy była 3 razy młodsza od swojej mamy?

Rozwiązanie
Zadanie 3

Jeden z braci ma 14 lat, a drugi jest o 2 razy starszy. Za ile lat będą mieli łącznie 50 lat? Ile lat tamu mieli razem 18 lat?

Rozwiązanie
Zadanie 4

Suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa 243. Znajdź najmniejszą z nich.

Rozwiązanie
Zadanie 5

Czy suma czterech kolejnych liczb może być równa:
a) 900; b) 786?

Rozwiązanie
Zadanie 6

W trapezie równoramiennym kąt przy krótszej podstawie jest trzy razy większy niż kąt przy przy dłuższej podstawie. Znajdź miary kątów trapezu.

Rozwiązanie
Zadanie 7

Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 22cm, a ramię jest dłuższe od podstawy o 2cm. Znajdź długość podstawy.

Rozwiązanie
Zadanie 8

Znajdź bok kwadratu wiedząc, że gdy parę przeciwległych boków kwadratu zwiększymy o 2cm, to pole figury wzrośnie o 6cm².

Rozwiązanie

Początek strony
egzamin gimnazjalny i matura z tangens.pl

tematy ¤ konto ¤ forum ¤ faq ¤ zaloguj ¤ programy ¤ CopyrightHEXAGON® 2008