Układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Czytaj również o:
Równaniach I stopnia z dwiema niewiadomymi.
Nierówności I stopnia z dwiema niewiadomymi.

Interpretacja graficzna układu równań

Układ równań I stopnia jest to zapis równań spiętych klamrą, których wykresem jest prosta.
Przykładowy układ równań:
$\text{[math]}$

Rozwiązaniem układu dwóch równań I stopnia jest para liczb.

Aby rozwiązać taki układ równań trzeba znaleźć taką parę liczb (parę, ponieważ mamy dwie niewiadome), która po wstawieniu w te równania, da równania prawdziwe. Mówimy, że jest jedno rozwiązanie (x, y), a NIE dwa rozwiązania x i y.

Rozwiązanie najlepiej jest widoczne w układzie współrzędnych. Jeśli naszkicujemy wykresy obu prostych to rozwiązaniem będzie punkt przecięcia tych prostych (część wspólna). Punkt jest parą liczb "x" oraz "y", co odpowiada naszej definicji rozwiązania.

Rozwiązanie zapisujemy również jako równania w klamrach:
$\text{[math]}$
Jeśli liczby będące rozwiązaniem wstawimy do naszych początkowych równań, otrzymamy równości prawdziwe:
$\text{[math]}$

Jeśli równania w naszym układzie są bardziej skomplikowane wystarczy je sprowadzić do postaci y=ax+b. W ten sposób będziemy mogli łatwo naszkicować wykres.

Nie zawsze da się jednak odczytać tak z wykresu punkt przecięcia. Szczególnie przy bardziej skomplikowanych równaniach. Dlatego do znalezienia rozwiązania są inne metody:

Metoda podstawiania

Czytaj również o:
Równaniach I stopnia z jedną niewiadomą.

Najlepiej jest omówić to na przykładzie:
$\text{[math]}$
Metoda ta polega na tym, aby w jednym z równań wyznaczyć jedną niewiadomą i jej wartość podstawić do drugiego równania.
Najpierw musimy zdecydować, na którym równaniu będziemy robić obliczenia, a potem, którą zmienną będziemy wyznaczać.
$\text{[math]}$ : w tym równaniu czy będziemy chcieli wyznaczyć "x", czy "y", będziemy musieli przeprowadzać dzielenie (aby uzyskać pojedynczy x lub y), ale przy tych liczbach wyjdą nam ułamki.
$\text{[math]}$ : tutaj również będzie trzeba dzielić, ale wszystkie liczby są podzielne przez 2 więc nie będzie ułamków.
Po takim porównaniu równań wybór pada na wyznaczenie "x" z drugiego równania.

Tak na prawdę wybór nie ma znaczenia jeśli chodzi o wynik. Jest to tylko wygoda naszego liczenia. Po co liczyć na ułamkach jeśli możemy to samo zrobić na liczbach całkowitych.

$\text{[math]}$
Pierwsze równanie cały czas pozostaje bez zmian. W drugim równaniu wyznaczyliśmy niewiadomą "x". Teraz podstawiamy wartość tej niewiadomej do pierwszego równania.
$\text{[math]}$
Zauważ, że z pierwszego równania zniknęła nam niewiadoma "x". Teraz wyliczamy z pierwszego równania wartość "y". Drugiego równania nie ruszamy.
$\text{[math]}$
W ten sposób wyznaczyliśmy pierwszą niewiadomą y=-1. Teraz tę niewiadomą wstawiamy do drugiego równania, aby wyznaczyć "x".
$\text{[math]}$
Mamy rozwiązanie. Jest nim para liczb (-1, 1).

Istnieją też układy, które nie maja rozwiązania. Spróbujmy rozwiązać układ równań:
$\text{[math]}$
Wyznaczam "y" z drugiego równania i podstawiam do pierwszego:
$\text{[math]}$
W pierwszym równaniu po podstawieniu wartości "y" z drugiego równania, niewiadoma "x" zredukowała się całkowicie. Otrzymaliśmy równanie 6=0, co wiadomo nie jest prawdą. W takim przypadku układ równań nie ma rozwiązań i nazywamy go sprzecznym.

Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy sprzecznym.

Układ ten nie ma rozwiązania ponieważ wykresy obu prostych są równoległe - nie przecinają się.
$\text{[math]}$

Innym możliwym przypadkiem jest nieskończona ilość rozwiązań.
$\text{[math]}$
W takim układzie równań, drugie równanie jest praktycznie bezcelowe. Nie wnosi nić do zbioru rozwiązań. Tak więc rozwiązaniami są wszystkie pary liczb spełniające pierwsze równanie, czyli wszystkie punkty tej prostej np (1, 3), (2, 5), (3, 7), ... . Takich rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy nieoznaczonym.

Do rozwiązania układu równań potrzeba jest tyle równań ile niewiadomych. Jeśli są dwie niewiadome - wystarczą dwa równania. Oczywiście może być ich więcej, ale nic dodatkowego nie wniosą.

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda ta polega na dodawaniu odpowiednich wyrażeń obu równań do siebie. Najlepiej od razu przykład:
$\text{[math]}$
Oba równania sprowadzamy do postaci gdzie niewiadome są po jednej stronie, a wyrazy wolne po drugiej stronie równania.
$\text{[math]}$
Redukujemy wyrazy podobne i oba równania ustawiamy tak aby "x" drugiego równania był pod "x" z pierwszego, podobnie "y" oraz wyraz wolny:
$\text{[math]}$
Teraz najważniejsza cześć. Metoda ta polega na tym, że dodajemy stronami oba te równania, ale w taki sposób, aby jedna z niewiadomych zredukowała się całkowicie:
Dodawanie to działa tak, że dodajemy do siebie odpowiednie wyrazy, a wynik zapisujemy poniżej klamry:
$\text{[math]}$
Tak, jak widzisz dodawanie jest proste, ale w wyniku tego dodawania musi nam się zredukować jedna niewiadoma. Tutaj ciągle mamy dwie. Musimy więc odpowiednio przekształcić jedno z równań.
Dążymy do tego, aby np "x" w jednym równaniu był w postaci np "ax", a w drugim "-ax" ("a" to dowolna liczba). Po dodaniu "x" zredukuje się całkowicie.
W naszym przykładzie do takiej postaci możemy doprowadzić "y". Wystarczy, że pomnożymy pierwsze równanie przez (-2) i wtedy otrzymamy:
$\text{[math]}$
Teraz jeśli je dodamy stronami "y" zredukuje się, a my otrzymamy pojedyncze równanie tylko z jedną niewiadomą "x":
$\text{[math]}$
Po rozwiązaniu tego równania znamy już wartość "x". Tę wartość wstawiamy do któregokolwiek z równań i obliczamy "y". Ja wybrałem drugie równanie:
$\text{[math]}$
Obie nasze odpowiedzi zapisujemy spięte klamrą:
$\text{[math]}$