Nierówności I stopnia z jedną niewiadomą

Do tego tematu powinieneś znać:
Wzory skróconego mnożenia.
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Nierówności opisują zdarzenia, w których używa się zwrotów takich jak mniejsze, większe, mniejsze lub równe, większe lub równe.
Rozwiązuje się je na bardzo podobnych zasadach do rozwiązywania równań, a rozwiązanie można przedstawić graficznie na osi.
Rozróżniamy 2 typy nierówności: ostrą (mniejsze lub równe, większe lub równe) i nieostrą (mniejsze, większe).
x jest mniejsze od 2 (nierówność nieostra) co zapisujemy:
x < 2
a na osi zaznaczamy:
---------------------------------+
/////////////////////////////////|

-----+---+---+---+---+---+---+---o---+---+---+-------->
    -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5

Zauważ, że przy 2 jest puste kółko. Tak się oznacza, że dana liczba nie należy do rozwiązania. Jeśli x<2 to znaczy ze liczba 2 nie zalicza się do rozwiązania.


x jest mniejsze, lub równe 2 (nierówność ostra) Tutaj 2 już zalicza się do rozwiązania.

---------------------------------+
/////////////////////////////////|

-----+---+---+---+---+---+---+---*---+---+---+-------->
    -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5

Zauważ, że tutaj przy 2 jest zamalowane kółko (tutaj gwiazdka). Tak zapisuje się, kiedy dana liczba należy do rozwiązania, a zapis oznacza, że 2 spełnia ten warunek.


x jest większe od 2 (nierówność nieostra)
x>2
                                 +--------------------
                                 |////////////////////

-----+---+---+---+---+---+---+---o---+---+---+-------->
    -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5

ostatnim możliwym zapisem jest x jest większe lub równe 2 (nierówność ostra)

                                 +--------------------
                                 |////////////////////

-----+---+---+---+---+---+---+---*---+---+---+-------->
    -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
Rozwiązaniem jest właśnie doprowadzenie do jednej z powyższych postaci, używając tych samych metod jak przy rozwiązywaniu równań. Jest tylko 1 różnica:

Jeśli mnożymy lub dzielimy obie strony równania przez liczbę ujemną to zmieniamy zwrot nierówności.

Dla przykładu rozwiążmy nierówność:
-7x-5 > -1-3(x+4)
-7x-5 > -1-3x-12     | opuszczamy nawiasy
-7x-5+3x > -13        |+3x do obu stron równania dodajemy 3x (segregacja)
-4x > -13+5             |+5 do obu stron równania dodajemy 5 (segregacja)
-4x > -8                   |:(-4) obie strony równania dzielimy przez -4 (aby otrzymać pojedynczy x)
x < 2                        | zmienił sie znak nierówności

przy dzieleniu (mnożeniu) przez liczbę ujemna zmieniamy znak nierówności

Więc rozwiązaniem naszej nierówności jest x < 2 co na osi oznaczamy (puste kółko przy 2, bo 2 nie należy do rozwiązania):
---------------------------------+
/////////////////////////////////|

-----+---+---+---+---+---+---+---o---+---+---+-------->
    -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5

Podobnie jest z nierównościami zawierającymi wyrażenie w postaci ułamków:

Aby pozbyć się postaci ułamkowych - mnożyliśmy przez iloczyn mianowników, po to, aby każdy z tych mianowników można było skrócić z liczbą przez którą mnożymy.
Teraz mamy 3 ułamki i w mianownikach są liczby 2, 3 i 6. Możemy pomnożyć te ułamki przez 2*3*6=36 i otrzymamy wtedy:

Ale zauważ, że tak naprawdę wystarczy pomnożyć obie strony równania nie przez iloczyn mianowników, tylko przez ich NWW - najmniejszą wspólną wielokrotność(bo przecież skracając, musimy podzielić liczbę, przez którą mnożymy, przez nasz mianownik)
Jeśli naszymi liczbami są 2, 3, 6 to ich NWW(2, 3, 6)=6 - ponieważ dzieląc to 6 przez każdą z tych liczb otrzymamy liczbę całkowitą.
Jeśli nie wiesz jak szybko znaleźć NWW to możesz zawsze obliczyć iloczyn, ale jeśli jest to prostsze jak tutaj to spróbuj użyć mniejszych liczb - będzie Ci łatwiej liczyć.

Więc tutaj użyję NWW dla naszych mianowników i pomnożę obie strony równania przez 6:

Prawda, że rówanie jest teraz nieco prostrze?
Dalej opuszczamy nawiasy i segredujemy według zasady: niewiadome na lewo, a reszta na prawo.

Doszliśmy do rozwiązania, gdzie zredukowały sie nam wszystkie niewiadome.
Teraz, trzeba spojrzeć czy ta nieróność jest prawdziwa?
0 NIE jest większe lub równe 4, więc równanie jest sprzeczne, nie ma rozwiązania.

Jeśli przykładowo wynik wyszedłby , co jest prawdą, bo zero jest mniesze od czterech, to w takim przypadku każda liczba jest rowiązaniem równania. Wtedy równanie jest tożsamościowe.


Jeśli mamy nierówność, gdzie występuje postać ułamkowa, możemy rozwiązać ją również w inny sposób. Nie musimy mnozyć przez mianowniki, ale możemy wykonać dzielenie tych ułamków (kreska ułamkowa to przecież znak dzielenia).

Dzielenie polega na tym, że każdy wyraz licznika podzielimy przez mianowik:

Teraz porządkujemy to równanie (przy odejmowaniu sprowadzamy do wspólnego mianownika):

I tutaj, tak jak wcześniej, żeby otrzymać pojedyńczy x, trzeba podzielić obie strony równania przez wyrażenie stojące przy x:

Pamiętaj, że podzielić przez ułamek zwykły to, to samo co pomnożyć przez jego odwrotność


I na osi liczbowej nasz wynik wygląda tak:
                 +-----------------------------------
                 |//////////////////////////////////

-----+---+---+---o---+---+---+---+---+---+---+-------->
    -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4

Przedziały liczbowe

Czytaj więcej o:
Zbiorach, podzbiorach i rozbudowanych przedziałach liczbowych

Zbiór rozwiązań nierówności można zapisywać w postaci przedziałów liczbowych. Przedział liczbowy jest to zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność (czyli np ziór rozwiązań nierówności).
Rozważmy przykładowe przedziały:
  • x > 2
  • Zapisujemy to jako "x" należący do przedziału od 2 (nie wliczając 2) do nieskończoności.
    Taki przedział zapisujemy jako i nazywamy przedziałem otwartym - liczba 2 nie należy do przedziału.
  • x < 2
  • Zapisujemy to jako "x" należący do przedziału od minus nieskończoności do 2 (nie wliczając 2).
    Przedział zapisujemy tak: i również nazywamy otwartym (2 nie należy do przedziału).
  • Zapisujemy to jako "x" należący do przedziału od 2 (wliczając 2!) do nieskończoności.
    Przedział zapisujemy tak: i nazywamy lewostronnie zamkniętym (domkniętym) - 2 należy do tego przedziału.
    Zauważ, że jeśli do przedziału chcesz również dołączyć tę graniczną liczbę to stosujesz nawias ostry ale tylko po jej stronie.
  • Przedział zapisujemy tak: i nazywamy prawostronnie zamkniętym (domkniętym) - 2 należy do tego przedziału.
    Zauważ, żę jeśli do przedziału chcesz również dołączyć tę graniczną liczbę to stosujesz nawias ostry ale tylko po jej stronie.

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną typu .

Tego typu nierówność rozwiązuje się podobnie do równań z wartością bezwględną. Zacznijmy od równania:
Przypomnijmy sobie definicję wartości bezwględnej:

Tutaj należy powiedzieć, że nierówność z wartością bezwzględną ze znakiem "<" rozwiązujemy inaczej niż ze znakiem ">" Jeśli pod wartością bezwględą jest niewiadoma to jej wynik ma 2 postaci. Zapisujemy je oddzielnie:
x < 7 I (jednocześnie) x > -7
Inaczej zapisując, wynikiem jest przedział otwarty .
Oznacza to, że tylko liczby z tego przedziału będą spełniały tę nierówność. Podstawiając 8 nierówność nie będzie spełniona, -8 również. Zobacz to na osi liczbowej:
-----+---o---+------------...--o--...------------+---o---+------>
    -8  -7  -6                 0                 6   7   8

Inaczej trochę to wygląda przy nierówności zwróconej w drógą stronę ">"

Tutaj rozwiązanie również rozpisuje się na 2 nierówności, ale nie muszą one być spełnione jednocześnie tylko wystarczy, że jedna z nich będzie spełniona.
x > 7 LUB x < -7
Wynika to z tego, że nie ma liczby jednocześnie większej od 7 i mniejszej od -7.
W takim przypadku wynik zapisujemy jako należący do sumy przedziałów , gdzie oznacza sumę zbiorów (przedziałów).
Na osi to wygląda tak:
-----+---o---+------------...--o--...------------+---o---+------>
    -8  -7  -6                 0                 6   7   8

Czegoś nie ma?
Nie rozumiesz?
Napisz!


Zadanie 1

Suma 3 kolejnych liczb naturalnych jest większa niż 1000. Podaj przykład takich liczb oraz znajdź najmniejsze liczby o tej wartości.

Rozwiązanie
Zadanie 2

Obwód trójkąta równoramiennego wynosi ponad 28cm, a jego ramiona są trzy razy dłuższe od podstawy. Oblicz długość ramion.

Rozwiązanie
Zadanie 3

Do koła teatralnego zapisało się 25 dziwewcząt oraz 8 chłopców. Ilu chłopców powinno się jeszcze zgłosić, aby stanowili co najmniej 40% zespołu.

Rozwiązanie
Zadanie 4

Roman z matematyki miał oceny 5, 2, 4, 4. Jaką ocenę powinien dostać, aby mieć średnią 3,76?

Rozwiązanie

Początek strony
egzamin gimnazjalny i matura z tangens.pl

tematy ¤ konto ¤ forum ¤ faq ¤ zaloguj ¤ programy ¤ CopyrightHEXAGON® 2008